関 真一朗

多重ゼータ値のなす空間の構造について、Goncharovの直和予想やZagierの次元予想やHoffman予想と呼ばれる重要な未解決問題があります。Zagierの次元予想やHoffman予想の代数的な部分はDeligne–Goncharov, 寺杣, Brownによって解決されていますが、Hoffman基底による多重ゼータ値の展開係数を具体的に決定するアルゴリズムは未だに得られていません。そのようなアルゴリズムや係数の分母が奇数であると主張する広瀬予想の解決を目指した研究を行っています。

任意の長さの素数の等差数列が存在することを主張するGreen–Taoの定理の一般化や応用について興味を持って研究しており、以前の共同研究で数体の素元星座定理を証明しました。また、特定の形をした素数の集合の無限性を証明することを目指しています。

級数や積分に関する関係式族を証明する手法である「連結和法」は山本修司氏との共同研究で発案したもので、その後、その手法の有効範囲の広さを示すために様々な関係式族を連結和法で証明しています。近年はこの手法を用いて前阪拓己氏および渡邉大貴氏と共に多重調和和の離散反復積分表示を証明することに成功しました。この新公式を用いた理論の発展も目指しています。

具体的に与えられたKontsevich−Zagierの周期について、無理性や超越性が未解決なものが多いため、それらを解決するための手法開発に取り組んでいます。

There are several important open problems concerning the structure of the space spanned by multiple zeta values, including Goncharov’s direct sum conjecture, Zagier’s dimension conjecture, and the Hoffman conjecture. Although the algebraic parts of Zagier’s dimension conjecture and the Hoffman conjecture have been resolved by Deligne–Goncharov, Terasoma, and Brown, an algorithm to explicitly determine the coefficients in the expansion of multiple zeta values with respect to the Hoffman basis has not yet been established. My research aims to develop such an algorithm and to resolve Hirose’s conjecture, which asserts that the denominators of these coefficients are odd.

I have been studying generalizations and applications of the Green–Tao theorem, which asserts that there exist arbitrarily long arithmetic progressions of prime numbers. In previous joint work, we proved the constellation theorem in the prime elements of the ring of integers of each number field. Additionally, I am working toward proving the infinitude of various subsets of prime numbers that have specific forms.

The connected sum method, a technique for proving families of identities involving series or integrals, was originally introduced in joint work with Shuji Yamamoto. Since then, I have applied this method to prove various families of identities, illustrating its wide applicability. More recently, together with Takumi Maesaka and Taiki Watanabe, we succeeded in proving a discrete iterated integral expression for multiple harmonic sums. I aim to further develop the theory using this new formula.

For the specific Kontsevich–Zagier’s periods, many problems regarding their irrationality or transcendence remain open. I am engaged in developing new techniques to address these unresolved problems.